В статье приводится новое доказательство красивой и трудной теоремы математического анализа, изложенное таким образом, что оно доступно учащимся старших классов профильных математических школ.
Пусть

— бесконечно много раз дифференцируемая действительная функция, причем для каждой точки

найдется натуральное

такое, что

. Тогда

многочлен.
Доказательство
Нам понадобится
теорема Бэра о системе замкнутых множеств:
1. Пусть

и

замкнутые подмножества прямой, причем

и

. Тогда в

найдется точка, которая содержится в одном из

вместе со своей окрестностью. Более точно, найдется точка

, натуральное

и

такие, что

.
Действительно (от противного), выберем точку

и окружим ее окрестностью

, где

. Мы предположили, что утверждение теоремы Бэра не верно. Значит

. Выберем в

точку

. Окружим

интервалом

таким, что концы этого интервала — точки

и

лежат в

, а

. По предположению

. Это позволяет выбрать в

некоторую точку

Продолжая процесс, мы построим вложенную стягивающуюся последовательность интервалов

Ясно, что

, (1)

(2)
Так как каждый промежуток

, то

, а из (1) и (2) следует, что

для каждого

. Таким образом мы нашли точку

, но не лежащую ни в одном из множеств

.
Скажем, что точка на действительной прямой правильная, если в некоторой окрестности этой точки функция — многочлен. Множество всех правильных точек обозначим символом . Множество , дополнительное к обозначим через и назовем множеством неправильных точек. (Будем говорить, что если , то — неправильная точка). |
---|