» » » Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза

 

Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза

Автор: admin от 23-12-2017, 11:00, посмотрело: 345

Проблематика вопроса сформулирована в предыдущей статье.



А именно: как оценить влияние определенного допущения модели Блэка-Шоулза на расчетную величину премии по европейскому опциону? Допущения о том, что цена торгуемого актива имеет логнормальное распределение. Как альтернативу расчета по формуле Блэка-Шоулза я использовал подход — прогнозирование выплат покупателю опциона методом Монте-Карло. На вход программе я подавал:


  • “эталонные данные” (моделирование логнормального распределения”),

  • случайный ряд, характеризующийся распределением с “толстыми хвостами”,

  • и, наконец, цены нескольких биржевых активов — валютных пар и криптовалют.



В каждом случае я рассчитал премию опциона по формуле Б-Ш и методом Монте-Карло. Сравнил результаты и сделал(?) выводы:

Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза





Ранее я построил в MS Excel два гипотетических ценовых ряда: ABS/USD — ценовой ряд, описываемый логнормальным законом распределения. И серию WRD/USD — ценовой ряд, распределение которого характеризуется большей вероятностью меньших изменений при существенной вероятности больших (> 3?) изменений.



Коэффициенты в таблице Excel были подобраны так, чтобы оба этих виртуальных ценовых активов характеризовались одинаковой величиной программе, предназначенной для оценки величины премии по опционному контракту, вероятно стоит предусмотреть два варианта расчета: с устранением тренда и с данными, взятыми и использованными, как есть.



Определенно, там, где у нас нет полной уверенности в динамике цен на прогнозируемый период, тренд следует устранить. А если уверенность есть — стоит ли тратить время на изучение деривативов, когда можно просто выйти на рынок со всеми доступными средствами, и, с ощутимой выгодой, монетизировать свои прогнозы?



Еще замечание: тренд необязательно устранять непосредственно из цен. К примеру, биткойн с его ростом более чем на сто процентов за один только год после удаления из цен трендовой составляющей вообще зайдет в отрицательную полуплоскость по оси цены. Отрицательная цена, определенно, не годится для дальнейших расчетов. Альтернатива, которой я и воспользуюсь — удалить тренд из ряда ценовых изменений — Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза, где Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза — текущее и предыдущее значение цен.



Построение и использование обратной кумулятивной функции распределения



В программе, что я приведу в депозитарии кода github по ссылке, пожалуй, самая “интеллектуальная” часть — это построение обратной кумулятивной (интегральной) функции распределения и использования ее для генерации случайного ценового приращения. Весь процесс разбит на несколько шагов.



На первом шаге я получаю из цен Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза приращения Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза



Далее, если выбрана опция устранения тренда, я получаю новый ряд приращений цен, вычитая из каждого значения Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза величину, равную Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза.

Значения приращений цены я сортирую по возрастанию.



Процесс построения обратной функции распределения реализован в одном цикле. Представим, что цена изменяется (Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза) на дискретные значения Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза. Какова вероятность, что цена изменится в Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза или меньше раз, где Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза — наименьшее из значений приращения цены в нашей выборке? Очевидно, вероятность эта составит Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза. Какова вероятность того, что цена изменится в Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза или менее раз? Очевидно, эта вероятность равна сумме вероятностей двух несвязанных исходов: изменения цены в Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза раз либо в Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза раза, или же Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза.



Т.е., имея отсортированный ряд Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза, нам достаточно построить из него ряд кортежей

Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза

.



Итак, обратная функция построена. Как нам получить “случайное” значение изменения цены, используя таблицу и генератор равномерно распределенных случайных чисел?

Примерно так же, как мы это делали в Excel.

К примеру, моя таблица содержит 500 записей вида:




















Вероятность, PДельта, D
0.002-0.0172
0.004-0.0699
......




В построенной программой таблице 1-я записи соответствует вероятность, равная 1 / 500, второй — 2 / 500 и так далее.



Я получаю случайное дробное число в диапазоне от 0 до 1. К примеру, 0.269.

Умножаю случайное число на количество записей в таблице (500): 0.269 * 500 = 134.5.

Нужное мне значение дельты будет “посередине” между 134-й и 135-й строкой таблицы:

Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза





Как только мы интерполировали значение приращения цены, мы вычисляем новое значение цены по формуле

Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза





Результаты моделирования



Сейчас моя задача — верифицировать алгоритм расчета премии по опциону с использованием алгоритма, описанного выше. Верифицировать на примере расчета, проведенного для активов ABSUSD (логнормальный) и WRDUSD (толстохвостый). Напомню: ABSUSD характеризуется приращениями цен, имеющими логнормальное распределение. То самое распределение, что предполагает модель Б-Ш. Актив WRDUSD демонстрирует динамику цен, более близкую к реальному рынку.



В программе я указал ровно те же параметры, что и для расчетов в Excel. Вместо вычисления премии по формуле, использующей стандартное отклонение, на вход программе я передал ценовые временные ряды наших активов. Результат демонстрирует таблица:






















-ABS/USDWRD/USD
закон распределения ценлогнормальное распределение“реальное” распределение
премия по формуле Б-Ш10.8010.80
премия, полученная в результате моделирования динамики цен10.7011.20




расчет для актива ABS/USD дает практически тот же результат, что и формула Б-Ш. А вот для актива WRD/USD “моделированная” премия уже заметно отличается от результата аналитического расчета.

Причин тому может быть две: сама природа ценового ряда WRD/USD и / или ошибка выборки.



Мы должны быть уверены, что различие в результатах моделирования и аналитического расчета обусловлено именно природой нашего виртуального актива. С этой целью я проведу 10 итераций расчета премии, сгенерировав 10 рядов цен WRD/USD. Для каждой такой выборки посчитаю стандартное отклонение, подставлю его в формулу Б-Ш и получу результат аналитического расчета:



Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза


Можно сказать, что ошибка выборки в большей степени повлияла на результат расчета программы, чем на результат вычислений по формуле Б-Ш. В ходе 10 экспериментов были получены средние значения размера премии:


  • программный результат: 11.0,

  • по формуле Б-Ш: 10.83.





Различия в результате незначительны. Из чего можно сделать вывод: до сих пор значительного влияния закона распределения цен на оценочное значение “справедливой” премии по опционному контракту мне обнаружить не удалось.



Расчет премии по рыночным контрактам



До сих пор мы анализировали “виртуальные” активы, динамика которых подчиняется законам, нами же и сформулированными. Цель же настоящих изысканий — оценить реальные активы. Опционные контракты на криптовалюты, стоимость которых выражена в фиатных валютах либо других криптовалютах.



Как и раньше, возьмем ванильный 30-дневный опцион BTCUSD — курс Bitcoin к доллару США. Проведем 4 итерации расчета. Для первой итерации в качестве входных данных возьмем всю историю котирования BTCUSD, с 2011 по 2017 год. Посчитаем премию, устранив тренд из исходных данных. Текущей ценой примем $10 709 за 1 биткойн.



Премия, полученная аналитически (Б-Ш), составила $1234.

Моделированием ценового ряда в программе получаем величину премии $1938.

Расхождение аналитического результата с программным в случае BTCUSD на сей раз значительное.



В качестве исходных данных мы взяли всю историю котирования биткойна. Вообще, при расчете премии по опциону принято брать не все имеющиеся данные, но относительно “свежую” историю цен. Тот же биткойн прошел через череду взлетов и обвалов цен, характерную для развивающегося, “незрелого” рынка.



Очевидно, было бы странно строить оценку стоимости опциона сегодняшнего популярного и ликвидного актива, отталкиваясь от истории 7-летней давности, когда биткойн был диковинкой, а капитализация его была ничтожна.

Биткойн образца 2011 года и биткойн нынешний, с точки зрения финансового мира — два разных актива. Потому я повторю расчеты, ограничившись периодом 2014 — 2017 гг, затем периодом 2016 — 2017 год:


























-HV, %Премия (программа)Премия (Б-Ш)
2011-2017101.151938.341234.67
2014-201766.261127.22810.40
2016-201762.961407.93770.15




Чему можно приписать такое значительное расхождение премии, рассчитанной двумя способами? Ошибке выборки или же плохой применимости формулы Б-Ш для волатильного, “непредсказуемого” криптоактива?

Для сравнения, приведу данные по расчету премии опционов на популярные валютные пары / золото:



Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза


Для “зрелых” рынков, как видно из таблицы, расхождения в результатах моделирования с формулой Б-Ш не столь значительны, как для BTCUSD (биткойна).



Следующая диаграмма показывает, как различаются рассчитанные значения премии (программа / формула Б-Ш) для фиатных валют, золота и криптовалют:



Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза


Рекомендации к практической оценке премии опционного контракта



При расчете опционной премии актива столь непредсказуемого и динамичного, как криптовалюта, стоит учесть ряд факторов.



Во-первых, можно предположить сильное влияние ошибки выборки на расчет премии. Это предположение, очевидно, подтверждает эксперимент с десятью выборками искусственного временного ряда WRDUSD.



Во-вторых, оценка “справедливой” премии, полученная программным моделированием на разных интервалах истории цен актива, может значительно отличаться от оценки, рассчитанной по формуле Б-Ш от исторической волатильности. Персонально я отдаю предпочтение более консервативной, пусть, вероятно, завышенной, оценке, полученной моделированием ценового ряда.



В третьих, один и тот же актив в разные периоды может характеризоваться разной динамикой. Вообще говоря, существует более общая относительно модели Б-Ш модель ценовой динамики — модель Хестона, предполагающая “дрейфующую” волатильность актива. В случае криптовалютных активов модель Хестона, вероятно, будет избыточно сложна и не вполне адекватна (при определенных условиях). Вместо предположения о стохастической, стремящейся вернуться к среднему значению волатильности, логичней предположить, что волатильность цен криптовалют меняется со временем, “эволюционирует”, обратно коррелируя с ростом капитализации рынка.



Наконец, в своей оценке я предполагаю свою полную неосведомленность относительно формирующегося ценового тренда. Оценка премии по “ванильному” CALL опциону, полученная без устранения тренда, будет превышать оценку премии опциона PUT на 40% — 70%. Даже если я приму решение оставить тренд в исторических данных, сценарий роста криптоактива — лишь один из возможных сценариев. Выбирая из двух альтернатив, я, например, могу остановиться на “взвешенном” значении премии:

Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза

,



где


  • C — премия (неважно, по опциону call или put),

  • Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза — премия, рассчитанная по данным, в которых тренд сохранен,

  • Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза — премия, рассчитанная по данным после удаления тренда,

  • Расчет премии по опциону методом Монте-Карло vs формула Блэка-Шоулза — моя оценка вероятности сохранения имеющегося тренда.





И последний в списке, но первый по значимости принцип, которым я руководствуясь: говоря о “справедливой” премии по опциону я забираю слово “справедливой” в кавычки. Говоря о рассчитанной по истории наблюдений вероятности я говорю не о вероятности как таковой, а о ее оценке. Строгость формулировок помогает мне хоть сколько-нибудь сохранять критическое отношение к собственным (а к чужим — и подавно) прогнозам и допущениям.

Источник: Хабрахабр

Категория: Операционные системы » Linux

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.

Добавление комментария

Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Полужирный Наклонный текст Подчеркнутый текст Зачеркнутый текст | Выравнивание по левому краю По центру Выравнивание по правому краю | Вставка смайликов Выбор цвета | Скрытый текст Вставка цитаты Преобразовать выбранный текст из транслитерации в кириллицу Вставка спойлера
Введите два слова, показанных на изображении: *