Немного об арифметике

Автор: admin от 4-01-2018, 21:30, посмотрело: 36

Немного об арифметикеВы когда-нибудь задумывались о том, как мы считаем? Как устроен счет на низком уровне? Например, как выглядят на прямой единичные отрезки в выражении 1 + 1 = 2. Или что такое квадратный корень из Немного об арифметике.



Счет появился не просто чтобы считать, а чтобы посчитать какие-то объекты. Например, количество яблок или антилоп в стаде. То есть всегда есть единица измерения.

здесь.



Раз точка 0 это вектор нулевой длины, то можно сказать, что и отдельно взятая на прямой точка 1, или 2, или 3, это тоже вектор нулевой длины. Получается, есть нулевые векторы, которые связаны ненулевыми. Это решает вопрос, почему отрезок ненулевой длины состоит из бесконечного числа точек нулевой длины. Потому что точки всегда соединены ненулевыми векторами. Это две противоположности, которые образуют систему. Как 0 и 1 в двоичной системе счисления.



С умножением все просто — берем целиком второй вектор столько раз, сколько единиц в первом векторе.



С делением сложнее. Так же как вычитание это сложение со сменой знака, так и деление это умножение на обратное число. То есть надо задать способ получения вектора 1/N. Так как он меньше единичного вектора, надо ввести более мелкую единицу измерения.



Например, как разделить вектор длиной 12 на 10 частей? Вводим новый вектор некоторой длины и задаем условие, что этот вектор, повторенный 10 раз, дает исходный единичный вектор. В результате снова получаем вычисления в целых числах. 120 мелких векторов делим на 10 частей, получаем 12 мелких или 1.2 единичного.



Немного об арифметике


Как выразить через такие векторы число пи? Никак. Точное выражение через единицы измерения означает точную десятичную запись. Точно так же нельзя выразить ими число Немного об арифметике = 0.333(3). Иначе надо будет до бесконечности вводить все более мелкие единицы измерения. Можно только обозначить эти числа другим способом — буквой или выражением.

Число Немного об арифметике = 0.5 можно выразить, но только потому что основание нашей системы счисления кратно этому числу. В десятичной системе все дроби периодические, кроме тех, знаменатели у которых кратны 2 или 5. Это может быть не совсем очевидно, так как мы чаще работаем с конечными дробями



Выходим за границы



Как попасть в эту точку?



Немного об арифметике


Двигаясь только по прямой мы не можем в нее попасть. Значит, надо ввести еще один единичный вектор, перпендикулярный первому. Ввести положительное и отрицательное направление, определить правила сложения и вычитания между всеми видами векторов. Получается слишком сложно. Много сущностей и заданных правил, к тому же похожих друг на друга.



Что если подойти с другой стороны? Что надо сделать, чтобы попасть в точку в стороне от основного направления? Надо повернуть.



Немного об арифметикеНемного об арифметике


Повернули один вектор и складываем с другим.



Нетрудно заметить, что поворот положительного единичного вектора 2 раза дает отрицательный вектор.



Немного об арифметике


Ничего не напоминает? Да ведь это умножение на мнимую единицу.



Значит что получается. Немного об арифметике это не вектор, перпендикулярный вещественному направлению. Немного об арифметике это поворот на прямой угол. Это не единица направления, а единица поворота. Умножение вектора на Немного об арифметике означает поворот вектора на Немного об арифметике через комплексное пространство. Смена знака это поворот 2 раза.



«Комплексное пространство» означает что если мы рассматриваем двумерный график функции Немного об арифметике, то мнимая часть Немного об арифметике находится в плоскости, перпендикулярной поверхности графика. Для ее отображения понадобится третье измерение, а мнимая часть Немного об арифметике потребует уже четвертого. Для одномерной числовой прямой достаточно второго.



А что такое квадратный корень из Немного об арифметике? Видимо это такое значение, что умножение единичного вектора на него 2 раза дает вектор Немного об арифметике.

Раз умножение на Немного об арифметике это поворот на Немного об арифметике, то умножение на корень из Немного об арифметике это поворот на Немного об арифметике.



Проверим в Wolfram Alpha.



Немного об арифметике




Ага, так и есть.



Любое выражение вида Немного об арифметике можно представить в виде Немного об арифметике, где Немного об арифметике это длина вектора, а Немного об арифметике задает угол поворота как коэффициент для Немного об арифметике.



Немного об арифметике

Немного об арифметике


При умножении чисел длины перемножаются, а углы складываются.

Немного об арифметике



Немного об арифметике



Немного об арифметике


4 умножения на i возвращают вектор в исходное состояние. График умножения на Немного об арифметике с изменением степени по 0.1 дает обычную единичную окружность. Если развернуть ее по оси Немного об арифметике, получим обычные синус и косинус. Как думаете, как выглядят синус и косинус в 3D? Это спираль.



Немного об арифметике



Немного об арифметике
Немного об арифметике




Здесь период целочисленный, так как по Немного об арифметике отсчитываются обороты, а не длина окружности.



Картинки кликабельные, по ссылкам интерактивная страница с графиками. В блоке «Axis mappping» определяется, какие 3 из 4 осей показываются в 3D. В поле «Function 1» и «Function 2» находится javascript-код, из которого создается объект типа Function.

В URL хэш, в хэше base64, в base64 json, в json значения полей.

Подписи относятся не к центральным осям, а к линиям, по которым откладываются цифры.

Расчеты в комплексных числах выполняются с помощью math.js, графики сделаны с помощью plotly.js.



А что если умножать не на Немного об арифметике, а на Немного об арифметике? Вместо окружности получится расходящаяся логарифмическая спираль.

Немного об арифметике
Немного об арифметике




Вернемся ненадолго к делению. Обратное число это степень -1. Это связано с движением по этой логарифмической спирали.



Это график функции Немного об арифметике. Длина вектора изменяется от Немного об арифметике до 2.

Немного об арифметике




График длины радиуса это обычный экспоненциальный график вида Немного об арифметике.



Особый случай



Рассмотрим график функции Немного об арифметике



Немного об арифметике




Тождество Эйлера выглядит так:

Немного об арифметике



Это особый случай формулы Эйлера. Что оно означает?

Оно означает, что значение функции Немного об арифметике в вещественной точке Немного об арифметике c мнимой частью Немного об арифметике равно -1.



Добавим график функции Немного об арифметике.

Немного об арифметике




Он идет перпендикулярно вещественному и выглядит как Немного об арифметике. Поэтому Немного об арифметике, Немного об арифметике, Немного об арифметике тоже равны -1.



Картинку, которую рисуют в википедии, можно получить так. Отличается значение для оси Y в Axis mapping.



В трехмерном виде получается волнистая поверхность.

Немного об арифметике




Немного об арифметике




Чтобы получить последний график, надо дополнительно в консоли запустить функцию buildFuncSurface(). В интерфейсе можно задать только 2 серии точек, а на последнем их 3. Для управления сериями есть функции addTraces()/deleteTraces().



Еще есть функция altform(), которая показывает запись комплексного числа в виде Немного об арифметике

console.log(altform(math.i.sqrt()))
0.707106781187 + 0.707106781187i = 1 * i^0.5 = 1 * i^(1/2)


Также есть объекты Plotly и math, которые добавляются библиотеками.

Источник: Хабрахабр

Категория: Операционные системы » iOS

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.

Добавление комментария

Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Полужирный Наклонный текст Подчеркнутый текст Зачеркнутый текст | Выравнивание по левому краю По центру Выравнивание по правому краю | Вставка смайликов Выбор цвета | Скрытый текст Вставка цитаты Преобразовать выбранный текст из транслитерации в кириллицу Вставка спойлера
Введите два слова, показанных на изображении: *