» » » О форме вращающейся жидкости

 

О форме вращающейся жидкости

Автор: admin от 3-01-2018, 19:10, посмотрело: 581

О форме вращающейся жидкости

Сегодня я заварил себе чай и задумался



Сегодня утром я задумался, пока размешивал два кубика сахара в чашке с только что заваренным чаем. Задумался о форме жидкости, которую она принимает при вращении. Безусловно, все представляют себе что будет, если очень быстро начать размешивать сахар в чашке с чаем. Мне захотелось рассмотреть этот банальный и привычный процесс подробнее и попытаться рассказать Вам немного интересного из физики окружающих нас в быту явлений.



Идея эксперимента



Давайте представим, что мы имеем некоторую цилиндрическую тару, в которой находится некоторая жидкость. Вращаться жидкость можно заставить, как минимум, двумя очевидными способами: размешать её каким-нибудь предметом или начать вращать цилиндрическую тару, что, благодаря силам трения между жидкостью и поверхностью сосуда, приведет к вращению жидкости, увлекаемой содержащим её вращающимся сосудам.



Физическая модель



Остановимся на втором варианте. Итак, у нас есть вращающийся с постоянной циклической частотой сосуд, в котором при динамическом равновесии с постоянной циклической частотой вращается жидкость в том же направлении.



Вырежем из всей жидкости элементарный бесконечно малый объем около поверхности и рассмотрим какие силы на него действуют. В силу симметрии задачи, будем ориентироваться на цилиндрические координаты, что заметно упростит расчеты.

О форме вращающейся жидкости

Качественный расчет формы поверхности



Запишем второй закон Ньютона для элементарного кусочка объема жидкости:

О форме вращающейся жидкости

К примеру, после размешивания ложкой сахара в чашке только что заваренного чая, жидкость вращается вокруг оси симметрии, отсюда наш элементарный кусочек объема имеет центростремительное ускорение. Поэтому спроецируем наш закон Ньютона на ось, совпадающую с радиусом-вектором от элементарного объема до оси симметрии. Не будем учитывать вязкость и поверхностное натяжение. Сила, сообщающая центростремительное ускорение (в правой части нашего закона движения) возникнет из-за разности давлений столбов жидкости, что можно увидеть на увеличенной части первого рисунка.



Таким образом, у нас получится следующее выражение:

О форме вращающейся жидкости, где О форме вращающейся жидкости, а та самая сила определится как О форме вращающейся жидкости, где площадью эффективного сечения О форме вращающейся жидкости обозначена та площадь нашего элементарного объема, на которую действует разница давлений столбов жидкости О форме вращающейся жидкости.

Получаем силу О форме вращающейся жидкости



Масса нашего элемента объема определяется по знакомой всем формуле О форме вращающейся жидкости, а сам объем будет равен О форме вращающейся жидкости (элементарный объем в цилиндрических координатах).

В итоге, 2 закон Ньютона для нашей маленькой задачки расписывается в следующее выражение:

О форме вращающейся жидкости

После небольших сокращений и преобразований получаем:

О форме вращающейся жидкости

Теперь проинтегрируем обе части выражения, используя неопределенные интегралы:

О форме вращающейся жидкости

О форме вращающейся жидкости

О форме вращающейся жидкости



Детальный расчет формы поверхности



Теперь мы получили вполне ясную зависимость для формы поверхности и с уверенностью можем сказать, что это параболоид. Но нам неизвестна постоянная величина О форме вращающейся жидкости. Давайте её определим для полного понимания физики процесса.



Так как объем жидкости не меняется (мы считаем, что не пролили ни капли, пока размешивали наш чай ?), то запишем объемы до вращения и во время вращения с постоянной циклической частотой.



До вращения:

О форме вращающейся жидкости, где О форме вращающейся жидкости — это высота жидкости в цилиндрической поверхности в спокойном состоянии (вращения нет).



Во время вращения:

О форме вращающейся жидкости

О форме вращающейся жидкости



Данные объемы равны, поэтому:

О форме вращающейся жидкости

Отсюда выражается ранее неизвестная постоянная: О форме вращающейся жидкости

И окончательное уравнение формы поверхности вращающейся жидкости имеет вид:

О форме вращающейся жидкости или преобразовав О форме вращающейся жидкости



Некоторые заметки



Хотелось бы обратить внимание на то, что форма поверхности зависит от частоты вращения, ускорения свободного падения, геометрических параметров сосуда, первоначального объема жидкости, но не зависит от плотности жидкости. Это выражение мне показалось довольно интересным, так как с его помощью можно легко смоделировать примерное расположение жидкости внутри вращающегося вокруг своей оси симметрии цилиндрического сосуда. Для этого можно воспользоваться MathCAD’ом и построить несколько графиков.



Графическое представление результатов расчета



Возьмем вполне реальные параметры системы, соизмеримые с размерами чашки или стакана.

Радиус цилиндрической поверхности: О форме вращающейся жидкости

Высота жидкости в цилиндрической поверхности без вращения: О форме вращающейся жидкости

Ускорение свободного падения: О форме вращающейся жидкости

Циклическая частота вращения цилиндрической поверхности: О форме вращающейся жидкости

(Все значения этих величин заданы в системе Си)



Далее перепишем нашу функцию для её отображения в MathCAD.

Для 2D отображения сечения:

О форме вращающейся жидкости



Для 3D отображения поверхности:

О форме вращающейся жидкости

О форме вращающейся жидкости

О форме вращающейся жидкости

О форме вращающейся жидкости

О форме вращающейся жидкости

О форме вращающейся жидкости

О форме вращающейся жидкости

О форме вращающейся жидкости

О форме вращающейся жидкости



В качестве изменяющегося параметра будем менять циклическую частоту вращения О форме вращающейся жидкости. Результаты можно наблюдать на рисунках ниже:



О форме вращающейся жидкости
При циклической частоте О форме вращающейся жидкости



О форме вращающейся жидкости
При циклической частоте О форме вращающейся жидкости



О форме вращающейся жидкости
При циклической частоте О форме вращающейся жидкости



О форме вращающейся жидкости
При циклической частоте О форме вращающейся жидкости



О форме вращающейся жидкости
При циклической частоте О форме вращающейся жидкости



О форме вращающейся жидкости
При циклической частоте О форме вращающейся жидкости



Выводы



Видно, что если циклическая частота превысит значение О форме вращающейся жидкости, то мы увидим дно вращающегося цилиндрического сосуда, и, начиная с этой частоты, жидкость будет плавно «переходить» на стенки сосуда, всё сильнее оголяя дно. Очевидно, что при очень больших частотах вся жидкость растечется по стенкам сосуда. Теперь мы знаем все параметры такой жидкости. Зная её уравнение, не составит большого труда рассчитать толщину слоя жидкости на стенке сосуда на определенной высоте при определенной частоте.



upd. Отдельно хотелось бы подчеркнуть те противоречащие друг другу допущения, которые были приняты при рассмотрении задачи:

1. Считалось что, жидкость вращается благодаря вращению сосуда, который её содержит. Это может быть только при учете внутреннего трения, вязкости и поверхностного натяжения.

2. Но при выводе формы поверхности эти явления не учитываются для того, чтобы упростить решение и показать только качественный результаты моделирования. Т.е. решение немного противоречит описываемой изначально модели. Учет всех явлений, включая нелинейность процесса при высоких частотах, настолько бы усложнил задачу, что её вряд ли можно было бы решить аналитически и показать примерную и понятную модель для человека, который не связан с математикой/физикой.

3. Цель состоялась в том, чтобы показать лишь очень приближенное и самое простое решение, включающее в себя ряд допущений.

Источник: Хабрахабр

Категория: Компании » Microsoft

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.

Добавление комментария

Имя:*
E-Mail:
Комментарий:
Полужирный Наклонный текст Подчеркнутый текст Зачеркнутый текст | Выравнивание по левому краю По центру Выравнивание по правому краю | Вставка смайликов Выбор цвета | Скрытый текст Вставка цитаты Преобразовать выбранный текст из транслитерации в кириллицу Вставка спойлера
Введите два слова, показанных на изображении: *